Model IS - LM (v. 24.05, 13.00)

Główną cechą modelu IS - LM jest położenie akcentu na przenikanie się procesów zachodzących na dwóch rynkach:

• rynku towarowym
• rynku pieniężnym. 

Stopa procentowa, która ustala się na rynku pieniężnym, oddziałuje na rynek towarowy i dochód narodowy przez kształtowanie popytu. 

Natomiast dochód narodowy wpływa na rynek pieniężny i stopę procentową. 

Model IS - LM wyjaśnia rolę polityki pieniężnej i fiskalnej w kształtowaniu stopy procentowej o dochodu narodowego. 

RYNEK TOWAROWY - krzywa IS

Równowaga na rynku towarowym oznacza sytuację, w której popyt na towary równy jest podaży. Wymaga to sytuacji, w której planowane inwestycje (Ip) równe są planowanym oszczędnościom (Sp). 

Ip = Sp   (1)

Jednym z czynników decydujących o wysokości planowanych inwestycji jest wysokość stopy procentowej. Im wyższa stopa, tym niższe planowane inwestycje. Wynika to z większej zyskowności lokat oraz wyższym kosztom kredytów. Zależność ta oznacza, że inwestycje są malejącą funkcją stopy procentowej. 

I = Ia - wi * r  (2)

Gdzie Ia - inwestycje autonomiczne, wi - parametr, który określa wrażliwość inwestycji na stopę procentową, r - stopa procentowa. 

Wiemy także, że:

Y = C + S, skąd S = Y - C, oraz  (3)

C = Ca + ksk x Y  (4)

Podstawiając C z równania (4) do równania (3) otrzymujemy:

S = Y  - Ca - ksk x Y (5)

S = - Ca + (1 - ksk) x Y 

Ponieważ warunkiem równowagi jest to, że I = S, dlatego po podstawieniu do równania 1, równań (2) oraz (5) 

Ia - wi x r = - Ca + (1-ksk) x Y, a stąd: (6)

Y = (Ca + Ia - wi x r) / (1 - ksk) (7)

W tym ostatnim równaniu, inwestycje autonomiczne, konsumpcja autonomiczna oraz krańcowa skłonność do konsumpcji są zmiennymi objaśniającymi, a dochód (Y) oraz stopa procentowa (r) są zmiennymi objaśnianymi, dlatego można znaleźć wiele kombinacji Y i r, które są rozwiązaniem tego równania, i które zapewniają równość inwestycji i oszczędności (I = S). 

Zbiór tych kombinacji dochodu i stopy procentowej, wyznacza graficznie krzywą IS. 

Konstrukcja krzywej IS (od punktu 1 do punktu 4). 

1. W lewej górnej ćwiartce wykresu przedstawiona jest funkcja inwestycji. Widać, że inwestycje (zmienna zależna) maleją wraz ze wzrostem stopy procentowej (zmienna niezależna). Nachylenie krzywej zależy od wielkości współczynnika "wi". Wielkość inwestycji autonomicznych ( Ia ) stanowi punkt wspólny krzywej i wykresu.

4. W ćwiartce prawej górnej wykreślamy krzywą IS. Wystarczą nam do tego dwa punkty. Wyznaczamy je podobnie. Stąd przedstawiam wyznaczenie pierwszego.  Dla stopy procentowej r1 poziom inwestycji wynosi I1. Dla równowagi na rynku towarowym oszczędności muszą być równe inwestycjom i wynoszą S1. Aby osiągnąć taki rozmiar oszczędności, gospodarka musi wygenerować dochód Y na poziomie Y1. Punkt A w czwartej ćwiartce jest kombinacją (r1, Y1).

2. W lewej dolnej ćwiartce przedstawiony jest graficznie warunek równowagi na rynku towarowym (I=S). Dlatego linia wychodzi z początku układu pod kątem 45 stopni.

3. W prawej dolnej ćwiartce przedstawiono zależność oszczędności od wielkości dochodu narodowego. O nachyleniu tej krzywej decyduje współczynnik (1 - ksk) poprzedzający symbol Y. O położeniu krzywej decyduje wyraz wolny, w tym przypadku wielkość konsumpcji autonomicznej (Ca). Im większe Ca, tym krzywa przesuwa się bardziej w prawo.

Ponieważ nachylenie krzywej IS jest ujemne, niższa stopa procentowa wymaga większego dochodu, który zapewnia równowagę. O tym, jak musi się zmienić Dochód (Y) przy zmianie stopy procentowej (r) mówi nachylenie krzywej IS. Nachylenie to zależy od wrażliwości inwestycji na zmiany stopy procentowej (jak zmieni się wielkość inwestycji przy danej zmianie stopy, parametr wi) oraz od wysokości mnożnika. Odpowiedni wzór można wyprowadzić z równania (7).

Y = (Ca + Ia - wi x r) / (1 - ksk)     (7)
(1 - ksk) x Y = Ca + Ia - wi x r     (8)

Ponieważ Ca oraz Ia są stałe, zmiana Y zależy od elementu wi x r

dY = (-wi x dr) / (1 - ksk)        (9)

dY / dr = - wi x 1 / (1 - ksk)       (10)


Teraz można już powiedzieć, że zmiana dochodu narodowego na zmianę stopy procentowej jest tym większa, im większa jest wrażliwość inwestycji na zmiany stopy procentowej oraz im wyższy jest mnożnik 1 / (1 - ksk).

Krzywa IS z uwzględnieniem państwa (wydatki rządowe i podatki) 

Kiedy w modelu pojawia się państwo, warunek równowagi na rynku towarowym można przedstawić następującym równaniem: 

Ip + G = Sp + T  (11)

Ip - inwestycje planowane, G - wydatki rządowe, Sp = oszczędności planowane, T = podatki

Dla uproszczenia analizy zakładamy, że wydatki rządowe są stałe (nie zależą od dochodu) i wynoszą Ga (autonomiczne). 

Jeżeli funkcja wydatków konsumpcyjnych ma postać:

C = Ca + ksk ( Y - T)  (12), gdzie

T = Ta + tY,   (13), gdzie t oznacza stopę podatkową, wtedy warunek równowagi wygląda tak:

Ia - wi x r + Ga = Y - ( Ca + ksk (Y - T)) + T,   (14)       gdzie  I = Ia - wi x r, G = Ga, Sp = Y - Ca - ksk (Y - T)

Moje równanie 14 ma nieco inną postać niż ta zapisana w podręczniku Milewskiego na str. 477, wyd. 2005. Ponieważ równowaga opisana jest równaniem (11), a S = Y - C = Y - (Ca + ksk (Y - T), stąd należy dodać do prawej strony równania brakujące T. Co bardzo komplikuje dalszą pracę. Postaram się to sprawdzić jak najszybciej. 

Rynek pieniężny - krzywa LM

Równowaga na rynku pieniężnym występuje wtedy, kiedy realny popyt na pieniądz równy jest realnej podaży pieniądza. Obie wielkości są równe wielkościom nominalnym podzielonym przez poziom cen.

Popyt transakcyjny - dotyczy potrzeby realizacji transakcji towarowych i zależy od wielkości tych transakcji. Wielkość transakcji z kolei zależy od dochodu, jakim ludzie dysponują. Zatem popyt transakcyjny jest rosnącą funkcją dochodu.

Popyt spekulacyjny - wynika z utrzymywaniem pieniądza w celu korzystnych zakupów innych aktywów (np. akcje, obligacje). Im wyższa stopa procentowa, tym niższy popyt spekulacyjny na pieniądz (lepiej wydać pieniądze na obligacje o wysokiej stopie zwrotu).

Łączny popyt na pieniądz (L) jest zatem rosnącą funkcją dochodu (popyt transakcyjny) oraz malejącą funkcją stopy procentowej (popyt spekulacyjny).


L = Lt + Ls    (11)

L = wy x Y + Lsa - ws x r    (12) 

wy - wrażliwość popytu transakcyjnego na pieniądz na zmiany dochodu

ws - wrażliwość popytu spekulacyjnego na zmiany stopy procentowej

Lsa - autonomiczny popyt spekulacyjny


Podaż pieniądza wyrażona w jednostkach pieniężnych (M) to ilość pieniądza w obiegu powiększona o depozyty.

Realna podaż pieniądza jest równa nominalnej podzielonej przez poziom cen (P).

Waarunek równowagi na rynku pieniężnym ma postać:

Mo / Po = wy x Y + Lsa - ws x r   (13)

Po przekształceniu otrzymujemy równanie analogiczne do równania (7):

Y = (ws x r + Mo/Po - Lsa) / wy    (14) 

Równianie (14), podobnie do równania (7) ma dwie zmienne objaśniane - dochód (Y) i stopę procentową (r). Dlatego równanie (14) ma wiele rozwiązań. Są nimi kombinacje stopy procentowej i dochodu zapewniające równowagę na rynku pieniężnym. Zbiór tych kombinacji przedstawia krzywa LM.

Konstrukcja krzywej LM (od punktu 1 do punktu 4). 

3. W lewej górnej ćwiartce wykresu przedstawiona jest funkcja popytu spekulacyjnego. Widać, że zależy on od popytu autonomicznego oraz od wysokości stopy procentowej. Określona wielkość Ls wymaga odpowiedniej wysokości stopy procentowej (w tym przypadku r1).  W ten sposób otrzymujemy punkt A o współrzędnych (Y1, r1). W podobny sposób wyznaczamy kolejne punkty krzywej LM (np. B (Y2, r2).	4. W ćwiartce prawej górnej wykreślamy krzywą LM. Wystarczą nam do tego dwa punkty. Wyznaczamy je podobnie. Stąd dokładnie przedstawiłem wyznaczenie pierwszego.
2. Dla zapewnienia równowagi na rynku pieniężnym popyt spekulacyjny musi ustalić się na poziomie Ls1. Krzywa w tej ćwiartce nachylona jest pod kątem 45 stopni, ponieważ całkowity popyt na pieniądz jest sumą Lt oraz Ls,	1. W prawej dolnej ćwiartce przedstawiona jest funkcja popytu transakcyjnego na pieniądz. Przy dochodzie Y1 popyt transakcyjny wynosi Lt1.

Krzywa LM jest rosnąca, co oznacza, że im wyższa jest stopa procentowa (r), tym wyższy poziom dochodu (Y).

Nachylenie krzywej LM mówi o tym, jak zmienia się dochód (Y) przy określonej zmianie stopy procentowej (r). Im bardziej płaska krzywa LM, tym tym większe zmiany dochodu przy zmianach stopy procentowej. Nachylenie to zależy od dwóch czynników, co widać po zróżniczkowaniu równania (14):

dY / dr = ws / wy.

Równowaga w gospodarce zamkniętej

Krzywe IS oraz LM przedstawiają takie kombinacje dochodu narodowego (Y) oraz stopy procentowej (r), które zapewniają równowagę na dwóch rynkach:

- krzywa IS - na rynku towarowym

- krzywa LM - na rynku pieniężnym. 

Równowaga na obu rynkach występuje tylko w punkcie przecięcia się obu krzywych.

Przy założeniu określonych poziomów zmiennych niezależnych (Mo/Po, Ca, Ia, ksk, Ta), równowagę na obydwu rynkach zapewnia kombinacja (r0, Y0) . 

Jeżeli gospodarka znajdzie się w poza punktem przecięcia krzywych IS oraz LM, e si znaleźć w jednym z czterech obszarów A, B, C lub D. 

Załóżmy, że gospodarka znajduje się w obszarze A, w którym występuje nadwyżka podaży pieniądza (co prowadzi do obniżki stopy procentowej) oraz nadwyżka podaży na rynku towarowym (co prowadzi do ograniczenie produkcji i spadku dochodu narodowego).